人教版九年级数学下册《一元二次方程与二次函数》教案

【例1】2010，西城，一模
已知：关于 的方程 ．
⑴求证： 取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数 的图象关于 轴对称．
①求二次函数 的解析式；
②已知一次函数 ，证明：在实数范围内，对于 的同一个值，这两个函数所对应的函数值 均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数 的图象经过点 ，且在实数范围内，对于 的同一个值，这三个函数所对应的函数值 ，均成立，求二次函数 的解析式．
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数 恰好是抛物线 的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将 用只含a的表达式表示出来,再利用 ,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.  
【解析】
解：（1）分两种情况：
当 时，原方程化为 ，解得 ， （不要遗漏）
∴当 ，原方程有实数根.  
当 时，原方程为关于 的一元二次方程，
 ∵ . 
∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）
 综上所述， 取任何实数时，方程总有实数根. 
（2）①∵关于 的二次函数 的图象关于 轴对称，
∴ .（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）

∴抛物线的解析式为 . 
 ②∵ ，（判断大小直接做差）
∴ （当且仅当 时，等号成立）. 
（3）由②知，当 时， .
∴ 、 的图象都经过 .     （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）
∵对于 的同一个值， ，
∴ 的图象必经过 .  
又∵ 经过 ，
∴ . （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）

∵对于 的同一个值，这三个函数所对应的函数值 均成立，

又根据 、 的图象可得 ，
∴ .（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）

而 .
只有 ，解得 .
∴抛物线的解析式为 .   
【例2】2010，门头沟，一模
关于 的一元二次方程 .
（1）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点 是抛物线 上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点 与点 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于