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人教版九年级数学下册《一元二次方程与二次函数》教案
12-14 18:41:36 分类:初三数学教案 浏览次数: 581次【例1】2010,西城,一模
已知:关于 的方程 .
⑴求证: 取任何实数时,方程总有实数根;
⑵若二次函数 的图象关于 轴对称.
①求二次函数 的解析式;
②已知一次函数 ,证明:在实数范围内,对于 的同一个值,这两个函数所对应的函数值 均成立;
⑶在⑵条件下,若二次函数 的图象经过点 ,且在实数范围内,对于 的同一个值,这三个函数所对应的函数值 ,均成立,求二次函数 的解析式.
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可。事实上这个一次函数 恰好是抛物线 的一条切线,只有一个公共点(1,0)。根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点。于是通过代点,将 用只含a的表达式表示出来,再利用 ,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解:(1)分两种情况:
当 时,原方程化为 ,解得 , (不要遗漏)
∴当 ,原方程有实数根.
当 时,原方程为关于 的一元二次方程,
∵ .
∴原方程有两个实数根. (如果上面的方程不是完全平方式该怎样办?再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了)
综上所述, 取任何实数时,方程总有实数根.
(2)①∵关于 的二次函数 的图象关于 轴对称,
∴ .(关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0)
∴抛物线的解析式为 .
②∵ ,(判断大小直接做差)
∴ (当且仅当 时,等号成立).
(3)由②知,当 时, .
∴ 、 的图象都经过 . (很重要,要对那个等号有敏锐的感觉)
∵对于 的同一个值, ,
∴ 的图象必经过 .
又∵ 经过 ,
∴ . (巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算)
∵对于 的同一个值,这三个函数所对应的函数值 均成立,
又根据 、 的图象可得 ,
∴ .(a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值)
而 .
只有 ,解得 .
∴抛物线的解析式为 .
【例2】2010,门头沟,一模
关于 的一元二次方程 .
(1)当 为何值时,方程有两个不相等的实数根;
(2)点 是抛物线 上的点,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,若点 与点 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点 的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式,比较简单。值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于
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