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高中数学教学中的“情境 问题 反思 应用”——《余弦定理》教学案例
12-14 18:41:36 分类:高三数学教案 浏览次数: 377次摘要:辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境·问题·反思·应用”教学实验,旨在培养学生的数学问题意识,养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯,提高学生解决数学问题的能力,增强学生的创新意识和实践能力。创设数学情境是前提,提出问题是重点,解决问题是核心,应用数学知识是目的,因此所设情境要符合学生的“最近发展区”。“余弦定理”具有一定广泛的应用价值,教学中我们从实际需要出发创设情境。
关键词:余弦定理;解三角形;数学情境
一 教学设计
1 教学背景
在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象:绝大多数学生认为数学很重要,但很难;学得很苦、太抽象、太枯燥,要不是升学,我们才不会去理会,况且将来用数学的机会很少;许多学生完全依赖于教师的讲解,不会自学,不敢提问题,也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学,二是对数学有恐惧感,没有信心,这样的心态怎能对数学有所创新呢?即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例,其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学,认为多数学习应与具体情境有关,只有在解决与现实世界相关联的问题中,所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在2003级进行了“创设数学情境与提出数学问题”教学实验,通过一段时间的教学实验,多数同学已能适应这种学习方式,平时能主动思考,敢于提出自己关心的问题和想法,从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识,增强了学习数学的兴趣。
2 教材分析
“余弦定理”是全日制普通高级中学教科书(试验修订本•必修)数学第一册(下)的第五章第九节的主要内容之一,是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一,也是初中“勾股定理”内容的直接延拓,它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课,其主要任务是引入并证明余弦定理,在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出,学生不是被动的、消极的知识的接受者,而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境,引导学生去思考,参与知识获得的过程。因此,做好“余弦定理”的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生的应用意识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
3 设计思路
建构主义强调,学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中,在以往的学习中,他们已经形成了丰富的经验,小到身边的衣食住行,大到宇宙、星体的运行,从自然现象到社会生活,他们几乎都有一些自己的看法。而且,有些问题即使他们还没有接触过,没有现成的经验,但当问题一旦呈现在面前时,他们往往也可以基于相关的经验,依靠他们的认知能力,形成对问题的某种解释。而且,这种解释并不都是胡乱猜测,而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以,教学不能无视学生的这些经验,另起炉灶,从外部装进新知识,而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点,引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。
为此我们根据“情境—问题”教学模式,沿着“设置情境—提出问题—解决问题—反思应用”这条主线,把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点,以“问题”为红线组织教学,形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境—问题”学习链,使学生真正成为提出问题和解决问题的主体,成为知识的“发现者”和“创造者”,使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神,做出了如下设计:①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景;②启发、引导学生提出自己关心的现实问题,逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题,解决问题时需要使用余弦定理,借此引发学生的认知冲突,揭示解斜三角形的必要性,并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质,引伸成一般的数学问题:已知三角形的两条边和他们的夹角,求第三边。③为了解决提出的问题,引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验,通过作边BC的垂线得到两个直角三角形,然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式,进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时,关键在于启发、引导学生明确以下两点:一是证明的起点 ;二是如何将向量关系转化成数量关系。④由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。
二 教学过程
1、设置情境
自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度(如下图),已知车箱的最大仰角为60°,油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6°20´,AC的长为1.40m,计算BC的长(保留三个有效数字)。
2、提出问题
师:大家想一想,能否把这个实际问题抽象为数学问题?(数学建模)
能,在三角形ABC,已知AB=1.95m,AC=1.40m,∠BAC=60°+6°20´=66°20´,求BC的长。
师:能用正弦定理求解吗?为什么?
不能。正弦定理主要解决:已知三角形的两边与一边的对角,求另一边的对角;已知三角形的两角与一边,求角的对边。
师:这个问题的实质是什么?
在三角形中,已知两边和它们的夹角,求第三边。
(一般化)三角形ABC,知AC=b,BC=a,角C,求AB。
3、解决问题
师:请同学们想一想,我们以前遇到这种一般问题时,是怎样处理的?
先从特殊图形入手,寻求答案或发现解法。(特殊化)
可以先在直角三角形中试探一下。
直角三角形中c2 = a2 + b2 (勾股定理角C为直角)斜三角形ABC中(如图3),过A作BC边上的高
AD,将斜三角形转化为直角三角形。(联想构造)
师:垂足D一定在边BC上吗?
不一定,当角C为钝角时,点D在BC的延长线上。
(分类讨论,培养学生从不同的角度研究问题)
在锐角三角形ABC中,过A作AD垂直BC交
BC于D,在直角三角形ADB中,AB2=AD2+BD2,
在直角三角形ADC中,AD=ACsinC, CD=ACcosC
即AD=bsinC, CD=bcosC
又BD=BC-CD,即BD=a-bcosC
∴c2 = (bsinC)2 + (a-bcosC)2
= b2sin2C + a2 -2abcosC + b2cos2C
= a2 + b2 -2abcosC
同理a2 = b2 + c2 -2bccosA
b2 = a2 + c2-2accosB
在钝角三角形ABC中,不妨设角C为钝角,
过A作AD垂直BC交BC的延长线于D,
在直角三角形ADB中,AB2=AD2+BD2,
在直角三角形ADC中,AD=ACsin(π-C), CD=ACcos(π-C), 即AD=bsinC, CD=-bcosC,又BD=BC+CD,即BD=a-bcosC
∴c2 = (bsinC)2 + (a-bcosC)2
= b2sin2C + a2 -2abcosC + b2cos2C
= a2 + b2 -2abcosC
同理a2 = b2 + c2 -2bccosA
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