抛物线及其标准方程的教学案例

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一、教学情景创设的背景

“抛物线及其标准方程”是人教版数学选修1-1第二章第三节的内容，也是本章介绍的最后一种圆锥曲线知识。学好本节对于完整地掌握圆锥曲线和二次曲线，有着不可替代的作用 抛物线的教学内容是整个高中阶段的重点内容，同时是历年高考必考的考点，这节教材继续着力于教会学生运用坐标法解题以及培养学生的对立统一的思想观点，正确运用抛物线的定义（圆锥曲线的第二定义），很好的体会圆锥曲线第二定义与原定义的联系。

本节教材内容是在学习了椭圆和双曲线的基础上来学习的另一类曲线，与前面的内容和结构（椭圆和双曲线）都有相似之处。学生已经学习了椭圆和双曲线的知识，这时学习抛物线的知识应该是比较容易学的。类似于椭圆、双曲线定义引出过程，在教学时利用教具演示引出抛物线定义（在课堂上展示），这种直观形象的过程，同学们已有一定的经验。

在教学过程中需要教师创设好情景，并在情景中，坚持“学生自主，注重实践，注重参与，讲究开放”，通过探究情景教学，化枯燥乏味为课堂生动活泼，将单一的练习变为趣味性的教学过程，让学生感受数学的魅力。

 

 

二、教学设计

（一）教学目标：

知识与技能

1、使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程。

2．根据定义画出抛物线的草图。

过程与方法

1、使学生掌握抛物线的定义和标准方程的推导过程。

2、让学生掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标和准线方程的关系。

情感、态度与价值观

1、使学生熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平。

2、对学生进行运动变化、对立统一的辨证唯物主义思想教育。

（二）教学重点：

1、抛物线的定义及焦点与准线的知识。

2、抛物线的四种标准方程形式和P的几何意义及应用。

3、抛物线标准方程的不同形式。

（三）、教学难点：

1、建立恰当坐标系，推导出抛物线的标准方程。

2、抛物线标准方程的另外三种形式与其图形的对应关系。

3、抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。

（四）教学方法：探究法、讲练结合法。

（五）课时：2个课时

（六）教学过程

一、复习引入： 

一动点到定点的距离和它到一条定直线 的距离的比是一个常数 。若0＜ ＜1。则这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做椭圆的焦点，常数 就是离心率。

若 ＞1。则这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫做双曲线的焦点，常数e是双曲线的离心率。

问  题：当e=1时轨迹是什么？

（教师对问题的分析，并作好对抛物线定义的的提示和分析）

若一动点到定点F的距离与到一条定直线 的距离之比是一个常数 时，那么这个点的轨迹是什么曲线？

（实验的展示）


 
F
 
C                  A
 
·
 
·
 
·
 
P
 
K  O
 

 
把一根直尺固定在图板上直线 的位置（如图），把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，

再把一条细绳的一端固定在三

角尺的另一条直角边的一点A，

取绳长等于点A到直角顶点C

的长（即点A到直线 的距离），

并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描一条抛物线。

（此实验教师在一个小黑板演示，提醒学生仔细观察，请学生说出这条曲线上的点有何特征？）

概   括：这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线 的距离相等。

即有|PC|=|PF|；|OK|=|OF|。

我们把这样的曲线叫做抛物线，由此我们得到抛物线的一般定义。

二、讲解新课：

1. 抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线。 

2．推导抛物线的标准方程：

如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|= （ ＞0）,那么焦点F的坐标为 ，准线 的方程为 ，

设抛物线上的点M（x,y），则有 。

化简方程得 。

  方程 叫做抛物线的标准方程。

（对方程的理解，教师要注重提示和对学生的引导）。

分  析：

（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（ ,0），它的准线方程是 。

（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： ， ， 。四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下。 

3、探究活动：学生分三组推导开口向左，开口向上、开口向下抛物线的标准方程。3分钟后每组选一个代表起来填写下表：

 

图形
 标准方程

>>《抛物线及其标准方程的教学案例》这篇教育教学文章来自［www.qihang56.com网］www.qihang56.com 收集与整理，感谢原作者。  焦点坐标
 准线方程
 

 

 

 
 y2 = 2px（p＞0）
 （ ，0）
 x = - 
 

 

 

 
  
  
  
 

 

 

 
  
  
  
 

 

 

 
  
  
  
 

学生通过观察、思考、相互合作总结、提炼抛物线的开口方向、对称轴、焦点位置与其标准方程中的一次变量之间有什么关系？

充分让学生来思考和总结，我没有很快的打断学生的思路，及时的提示学生。

顶

点

在

原

点

 
 
对称轴为x轴

 
 
标准方程为

y2=2px（p＞0）

 

 
 
开口与x轴正向同向:y2=2px

 
 
开口与x轴正向反向:y2=-2px

 
 
对称轴为y轴

 
 
标准方程为

x2=2py（p＞0）

 
 
开口与y轴正向同向:x2=2py

 

 
 
开口与y轴正向反向:x2=-2py

 
 
 



4、抛物线的标准方程。

 

 

 

 

 

 

 

这样归纳，便于学生理解和很好的记住。

 

三、例题讲解：

例1（1）已知抛物线标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程。 

　 （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程。

分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可；

　　    （2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。

解  析：（1）p＝3，焦点坐标是（ ，0）准线方程是x＝－ 。

（2）焦点在y轴负半轴上， ＝2，

所以所求抛物线的标准议程是 。

例2  求满足下列条件的抛物线的标准方程：

（1）焦点坐标是F（－5，0）

（2）经过点A（2，－3）

分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况（如第（2）小题）。

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