高一数学上学期（必修1）《函数与方程》教案二

 方程F(x,y)=0与函数y=f(x)之间可以互相转化，所以我们可以用函数观点来研究方程问题，也可以用方程思想来解决函数问题。
       主要理论依据是：函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点的横坐标是方程f(x)=g(x)的实根。  
一、用函数思想解答方程问题

构造函数，确定方程的实根的个数问题
        点评：本题中的方程是超越方程，很难通过解方程求出实根，但可以构造两个函数，通过这两个函数图象的交点的个数确定方程实根的个数。

例2：确定方程|x2-4|=a+1的实根的个数。
解：方程|x2-4|=a+1的实根的个数就是曲线y=|x2-4|与直线y=a+1
        的交点个数。由图2可得，当a+1>4，即a>3时，有2个交点；
        当a+1=4，即a=3时，有3个交点；当0<a+1<4即-1<a<3时，
        有4个交点；当a+1=0即a=-1时，有2个交点；当a+1<0即
        a<-1时，无交点。因此所求的实根个数为：a<-1时，0个；
        a=-1或a>3时，2个；a=3时，3个；-1<a<3时，4个。
        点评：直线y=a+1是平行于x轴的动直线，当a变化时，直线相应
平移，平移的过程中发现与曲线y=|x2-4|的交点个数在发生变化，故本题要进行分类讨论。 
2、构造函数，讨论方程的实根的存在性与唯一性的问题
例3：已知x的方程2x2-x-1+a=0在xÎ[-1，1]内有实数解，求实数a的取值范围。 

        点评：解法一是根据题中所给的题设和结论直接求出一元二次方程的根，由xÎ[-1，1]，求出实数a的范围，但这种方法计算太复杂；解法二是将左端关于x的二次式视为关于x的二次函数，则原方程在xÎ[-1，1]上有解的问题转化为x的二次函数的图象x轴的交点的横坐标位于区间[-1，1]内的问题；解法三是将a视为自变量，x视为参数，可得到关于a的一次函数，通过换元法并结合一次函数的图象得到a的取值范围；解法四是将原方程转化为关于a的一次方程a=-2x2+x+1，求出xÎ[-1，1]时，-2x2+x+1的取值范<a<3时，4个。 点评：直线y=a+1是平行于x轴的动直线，当a变化时，直线相应平移，平移的过程中发现与曲线y=|x2-4|的交点个数在发生变化，故本题要进行分类讨论。 2、构造函数，讨论方程的实根的存在性与唯一性的问题例3：已知x的方程2x2-x-1+a=0在xÎ[-1，1]内有实数解，求实数a的取值范围。 f(a)=a+2 y f(a)=a- 0 a y -1 0 1 x y -1 0 1 x 点评：解法一是根据题中所给的题设和结论直接求出一元二次方程的根，由xÎ[-1，1]，求出实数a的范围，但这种方法计算太复杂；解法二是将左端关于x的二次式视为关于x的二次函数，则原方程在xÎ[-1，1]上有解的问题转化为x的二次函数的图象x轴的交点的横坐标位于区间[-1，1]内的问题；解法三是将a视为自变量，x视为参数，可得到关于a的一次函数，通过换元法并结合一次函数的图象得到a的取值范围；解法四是将原方程转化为关于a的一次方程a=-2x2+x+1，求出xÎ[-1，1]时，-2x2+x+1的取值范